Rangkuman Matematika Kelas 9 Bab 2

Rangkuman Materi Matematika Kelas 9 Bab 2

Pola Barisan dan Deret

Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan

Dalam materi kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan persamaan dari suatu barisan bilangan.

Pernahkah kalian melihat suatu soal seperti dibawah ini:

0, 2, 4, …, …, 10

Soal tersebut adalah soal pola bilangan.

Apakah kalian bisa menebak titik-titik tersebut?

Jawabannya adalah : 6 dan 8

Darimana angka itu berasal?

Sebelum kita membahas sampai kesana kita harus memahami beberapa hal antara lain:

Suku bilangan
Persamaan dalam suatu barisan bilangan

Suku Bilangan

Diatas sudah dibahas mengenai contoh pola bilangan yaitu 0, 2, 4, 6,8, 10

Suku bilangan merupakan tempat angka itu berada.

Perhatikan penjelasan dibawah ini:

0 = Suku pertama
2 = Suku kedua
4 = Suku ketiga
6 = Suku keempat
8 = Suku kelima
10 = Suku keenam

Persamaan dalam suatu barisan bilangan

Dalam menentukan persamaan dalam suatu barisan bilangan sebenarnya sulit-sulit-gampang.

Kenapa Admin sebut demikian? Karena kita harus kreatif dan cermat dalam melihat suatu barisan bilangan.

Perhatikan contoh dibawah ini:

0, 2, 4, …, …, 10

Pola bilangan diatas menggunakan rumus χ + 2.

Angka tersebut didapat dari suku yang diketahui dikurangi suku sebelumnya.

Jadi:

2 – 0 = 2 (suku kedua dikurangi suku pertama)
4 – 2 = 2 (suku ketiga dikurangi suku kedua)

Berdasarkan bayangan diatas dapat disimpulkan bahwa angka berikutnya dipastikan +2.

4 + 2 = 6
6 + 2 = 8

Untuk menguji apakah benar atau tidak, tinggal kita tambahkan saja dengan angka 2 dititik-titik terakhir.

8+2 = 10

Kita lihat suku terakhir adalah 10, maka persamaan χ + 2 adalah benar.

Mari kita coba contoh berikutnya:

1, 4, 7, …, …, 16, ….

Masih menggunakan cara yang sama yaitu suku yang diketahui dikurangi suku sebelumnya.

Maka :

4 – 1 = 3
7 – 4 = 3

Berdasarkan angka diatas ditemukan bahwa angka berikutnya adalah + 3.

Maka titik-titik dapat kita isi dengan:

7+3 = 10
10 + 3 = 16
16 + 3 = 19 (suku terakhir)

Maka jawaban utuh adalah:

1, 4, 7,10, 13, 16, 19

Mudah bukan?

Contoh lainnya kita coba agak (tapi memang) sulit:

1, 3, 4, 3, 1, …, …, …

Apakah kalian bisa mengisi titik titik tersebut?

Berikut penjelasannya:

Pertama kita harus melihat urutan angka tersebut.
Kita coba tebak persamaan yang ada didalamnya.
3-1 = 2, 4 – 3 = 1, dari sini kita bisa lihat bahwa angka hasil tidak tetap, jadi ini akan lebih rumit.
Mari kita sedikit kreatif dan menggunakan pemikiran kita.
1-0+2 = 3, (suku kedua dikurangi suku pertama ditambah dua), 3-1+2 = 4. 4-3+2 = 3, 3-4+2 = 1.
Disini kita telah menemukan persamaannya yaitu suku kedua dikurangi suku pertama ditambah dua.

Maka untuk angka berikutnya adalah

1 – 3 + 2 = 0
0-1+2 = 1
1-0+2 = 3

Jadi jawaban utuhnya adalah :

1, 3, 4, 3, 1, 0, 1, 3

Bilangan Fibonacci

Apabila kalian menemukan pola seperti dibawah ini:

0,1,1,2,3,5,8,…,….,….

Pola tersebut dinamakan Barisan Bilangan Fibonacci.

Apa itu?

Barisan dimana :

Suku ke-3 didapat dari jumlah suku ke-1 dan suku ke-2 (0 + 1 = 1)
Suku ke-4 didapat dari jumlah suku ke-2 dan suku ke-3 (1 + 1 = 2)
Suku ke-5 didapat dari jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 (1 + 2 = 3)
dan seterusnya.

Maka apakah kalian bisa menebak angka berikutnya?

Ya angka berikutnya berturut-turut adalah:

13 (dari 5 + 8)
21 (dari 8 + 21)
34 (dari 21 + 34)

Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek

Setelah memahami dasar dari pola bilangan, maka kita akan melanjutkan materi.

Berikutnya ada 2 objek yang akan kita bahas yaitu:

Pola barisan bilangan segitiga
Pola barisan bilangan persegi

Apabila suatu soal membentuk pola baik itu segitiga maupun persegi, maka akan berlaku rumus khusus.

Mari kita bahas satu persatu.

Pola Barisan Bilangan Segitiga

Perhatikan gambar dibawah ini:

Dapat kita lihat bahwa ada dua warna disana, yaitu merah dan biru.

Apabila kita perhatikan, setiap bola baik warna merah maupun biru membentuk segitiga.

Gambar tersebut merupakan contoh dari pola bilangan segitiga.

Bagaimana bila kita harus menentukan banyaknya bola berwarna biru pada pola ke- 100?

Dalam menyelesaikan soal seperti pola diatas, maka berlaku rumus:

Keterangan:

U_n = Suku yang ditanyakan (Contoh U₁₀₀ maka maksudnya adalah suku ke-100)

n = Angka suku (Contoh U₁₀₀ maka maksudnya n = 100)

Contoh soal :

Tentukan banyaknya bola berwarna biru pada pola ke-100!

Maka kita masukan rumusnya dahulu:

U_n = ½ × n × (n + 1)

U₁₀₀ = ½ × 100 × (100 + 1)

U₁₀₀ = 50 × 101

U₁₀₀ = 5050

Maka jumlah bola biru pada pola ke-100 adalah sebanyak 5.050 buah.

Bagaimana? Mudah bukan?

Pola Barisan Bilangan Persegi

Pada pola barisan bilangan berikutnya merupakan pengembangan dari pola sebelumnya.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Bila menemukan pola seperti diatas maka berlaku rumus :

U_n = 2 × n – 1

Jadi bila ada soal menentukan pola ke-15 dari gambar diatas, maka penjelasannya:

U_n = 2 × n – 1

U₁₅ = 2 × 15- 1

U₁₅ = 30 – 1

U₁₅ = 29

Maka pola ke-15 adalah 29 buah.

Mudah kan?

Nah, bagaimana bentuk perseginya?

Pola barisan bilangan persegi apabila ditanyakan jumlah suku n.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Maka berlaku rumus :

Jenis Barisan Bilangan

Setelah mengetahui dasar-dasar dari pola bilangan, ada tingkatan selanjutnya yang harus kalian pahami disini.

Dibuku kalian mungkin tidak akan ada.

Tapi Admin akan susun disini karena ini penting untuk kedepannya.

Jenis barisan bilangan dapat dibagi menjadi dua, yaitu:

Barisan Aritmatika
Barisan Geometri

Mari kita bahas satu per satu.

Barisan Aritmatika

Dalam barisan deret aritmatika terdapat penjumlahan ataupun pengurangan untuk menentukan suku ke-n.

Perhatikan barisan bilangan dibawah ini:

1,3,5,7,…

Kalian pasti dengan mudah menentukan angka berikutnya adalah 9!

Barisan diatas termasuk kedalam barisan aritmatika.

Soal diatas masih gampang karena hanya menentukan suku ke-5

Namun bagaimana jika ditanya Tentukan suku ke-1000!

Apakah kalian akan membuat barisan bilangan seperti ini?

1,3,5,7,9,11,13,15,17, dst sampai seribu (mabok!)

Tentu tidak!

Untuk menentukan suku ke-1000 seperti contoh diatas maka berlaku rumus:

U_n = a + (n-1) × b

Keterangan:

U_n = suku yang ditanya.

n = angka suku yang ditanya.

a = awal (angka pertama pada barisan bilangan)

b = beda

Sebelum melanjutkan, kita harus membahas dulu tentang beda.

Rumus menentukan beda (b) adalah : b = U_n – U_{n – 1}

Perhatikan contoh soal dibawah ini:

Diketahui sebuah barisan aritmatika 1,3,5,7,.. tentukan suku ke-1000!

Untuk menyelesaikan soal diatas maka kita dapat menggunakan rumus U_n.

Tentu kita harus mencari beda dulu.

Mari kita selesaikan.

b = U_n – U_{n – 1}

b = 3 – 1 = 2

Kita tahu sekarang bedanya adalah 2.

Masukan kedalam rumus U_n.

U_n = a + (n-1) × b

U₁₀₀₀ = 1 + (1000-1) × 2

U₁₀₀₀ = 1 + 999 × 2

U₁₀₀₀ = 1 + 1998

U₁₀₀₀ = 1999

Maka diketahui hasilnya suku ke-1000 adalah 1999.

Bagaimana mudah bukan?

Setelah kalian mengetahui cara menentukan suku ke-n, maka kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah suku ke-n.

Menentukan suku ke-n BERBEDA dengan menentukan jumlah suku ke-n.

Ada rumus lagi untuk menentukan jumlah suku ke-n dalam barisan arimatika.

Rumusnya adalah:

S_n = n/2 × (2a+ (n-1) × b)

Keterangan :

S_n = Jumlah suku ke-n

Contoh soal:

Tentukan jumlah suku ke-10 dari barisan aritmatika 1,3,5,7,…!

Maka kita tinggal masukan rumusnya, yaitu:

S_n = n/2 × (2a+ (n-1) × b)

S₁₀ = 10/2 × (2(1)+ (10-1) × 2)

S₁₀ = 5 × (2+ 9 × 2)

S₁₀ = 5 × (2+ 18)

S₁₀ = 5 × 20

S₁₀ = 100

Maka jumlah suku-10 adalah 100.

Barisan Geometri

Berbeda dengan barisan aritmatika, barisan geometri digunakan untuk barisan yang bersifat kali ataupun bagi.

Rumusnya pun berbeda namun cara pengerjaan sama.

Berikut rumusnya:

U_n = a × r ^n-1

Keterangan:

r = rasio

Untuk menentukan rasio caranya adalah U_n– U_n-1

Sedangkan rumus untuk menentukan jumlahnya adalah :

S_n= a × (1 – r ⁿ) / (1 – r)